Cos'è teorema di lagrange?

Teorema di Lagrange

Il Teorema di Lagrange è un risultato fondamentale nell'ambito della teoria dei gruppi, una branca dell'algebra astratta. Fornisce un importante vincolo sulla dimensione dei sottogruppi di un gruppo finito.

Enunciato:

Se G è un gruppo finito e H è un sottogruppo di G, allora l'ordine di H (il numero di elementi in H) divide l'ordine di G. In altre parole, |H| divide |G|. Il quoziente |G| / |H| è detto indice di H in G, indicato con [G:H].

Formalmente:

Sia G un gruppo finito e H ⊆ G un sottogruppo. Allora:

|H| | |G|

Dimostrazione (Schema):

La dimostrazione si basa sull'idea di coset. Si definisce un coset sinistro di H in G come un insieme della forma gH = {gh : h ∈ H}, dove g ∈ G. Si dimostra che:

1. Ogni coset sinistro di H in G ha la stessa cardinalità di H, ovvero |gH| = |H| per ogni g ∈ G.
2. Coset sinistri distinti di H in G sono disgiunti.
3. L'unione di tutti i coset sinistri di H in G è uguale a G.

Quindi, si può partizionare G in coset sinistri disgiunti, ciascuno con |H| elementi. Se ci sono [G:H] coset, allora |G| = [G:H] * |H|, da cui |H| divide |G|.

Conseguenze:

Il Teorema di Lagrange ha diverse importanti conseguenze:

• Ordine di un elemento: L'ordine di un elemento a in un gruppo finito G (cioè, il più piccolo intero positivo n tale che aⁿ = e, dove e è l'elemento identità) divide l'ordine del gruppo G. Questo deriva dal fatto che l'ordine di a è uguale all'ordine del sottogruppo ciclico generato da a, ovvero <<a>>.
• Gruppi di ordine primo: Un gruppo di ordine primo è ciclico. Questo perché se |G| = p (con p primo) e a è un elemento di G diverso dall'identità, allora l'ordine del sottogruppo ciclico generato da a deve dividere p. Dato che p è primo, l'ordine del sottogruppo deve essere 1 o p. Siccome a non è l'identità, l'ordine del sottogruppo è p, e quindi il sottogruppo è uguale a G.

Limitazioni:

È importante notare che il Teorema di Lagrange fornisce solo una condizione necessaria, non sufficiente. Cioè, se d è un divisore di |G|, non è garantito che G abbia un sottogruppo di ordine d. Per esempio, il gruppo alternante A₄ ha ordine 12, ma non ha un sottogruppo di ordine 6.

Concetti importanti:

• Gruppo: Un <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/gruppo">gruppo</a> è un insieme dotato di un'operazione binaria che soddisfa determinate proprietà (chiusura, associatività, esistenza dell'elemento identità e esistenza dell'inverso).
• Sottogruppo: Un <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/sottogruppo">sottogruppo</a> è un sottoinsieme di un gruppo che è esso stesso un gruppo rispetto alla stessa operazione.
• Ordine di un gruppo: L'ordine di un <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/ordine%20di%20un%20gruppo">gruppo</a> è il numero di elementi nel gruppo.
• Ordine di un elemento: L'ordine di un <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/ordine%20di%20un%20elemento">elemento</a> è il più piccolo intero positivo n tale che aⁿ sia l'elemento identità.
• Coset: Un <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/coset">coset</a> di un sottogruppo H in un gruppo G è un insieme della forma gH o Hg per qualche g in G.
• Indice di un sottogruppo: L'<a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/indice%20di%20un%20sottogruppo">indice di un sottogruppo</a> H in un gruppo G, denotato con [G:H], è il numero di coset distinti di H in G.